[1]鳩ノ巣原理に関する問題

1155=3*5*7*11

11個の整数の中には、11の倍数があるかまたは11で割ったあまりが等しい二数があり、その二数の差は11の倍数となる。

残りの10または9個の整数の中には、7の倍数があるかまたは・・・・・・

 

以下同様にして3,5,7,11の倍数を作れるので題意は示された。


この問題に関してアドバイスをいただきましたが、0は任意の整数の倍数であるので、0が含まれていても全く問題はありません。実際、0*(整数適当に7個)=0は1155の倍数です。


[2]

同じく鳩ノ巣原理

1~2nの奇数をkとすると

k*2^a|0≦aかつk*2^a≦nですべての1~2nは表される。kはn個ある。よってn+1個選べばkが一致する2つの数は選ばれる。


[3]

aが2でも3でもなかったら

(a,b,c)=(a,a+2,a+4)となる(aは2ではない素数だから)

しかしこのとき三数のうちどれかは3で割り切れ、それは3ではないので素数ではない。

したがってa=2,3であり、(2,3,5)(3,5,7)が答え


[4]

①mnから考えられる(m,n)の和は2通り以上ある。すなわち、mnは(素数)×(素数)または(素数)^3の形ではない。

②m+nから考えられる全ての(m,n)の積は①の条件を満たす。

この条件を満たすm+nのうち最も小さいものは11で次が17である。

そして和が14未満というヒントでようやく(m,n)が一意に定まるという条件より、

(m,n)=(5,6)

 

mn=30=5*6=2*15

よりm+nは11または17となるので確かに条件を満たす。


[5]

100a+10b+c=a!+b!+c!

7!>1000

a,b,c≦5

すべて4以下とするとM≦72となるので

(1)いずれかひとつが5

(2)ふたつが5

(3)すべて5

の3つの場合に分けられる

(1)

M≦5!+4!+4!=168

よりa=1

b=5とすると

150+c=121+c!

これを満たすcは存在しない

c=5とすると

105+10b=121+b!

10b-b!=16

b=4

(2)

a=1またはa=2

155≠1!+5!+5!=241

255≠2!+5!+5!=242

(3)

555≠5!+5!+5!=360

よってN=145